Функсияи \(y=\frac{x^3-1}{4x^2}\) таҳқиқ карда шавад.
Ҳал.
1. Соҳаи муайянӣ
Он қиматҳое, ки \(x\) қабул карда метавонад.
$$x^2 \neq 0 \Rightarrow D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$
2. Соҳаи қиматҳо
\(E(y) = (-\infty; +\infty)\). Ёфтани соҳаи қиматҳо ба пункти 9 вобастагӣ дорад.
3. Оё функсия маҳдуд аст, ё не?
Функсияи зерин маҳдуд нест. Аз пункти 2 бармеояд.
4. Қиматҳои калонтарин ва хурдатирини функсия
Барои ёфтани қиматҳои хурдтарин ва калонтарин, мо бояд ҳосилаи функсияро ёбем:
$$y'=(\frac{x^3-1}{4x^2})'=\frac{1}{4}\cdot\frac{3x^2\cdot x^2 - (x^3-1)\cdot 2x}{x^4}=$$
$$=\frac{1}{4}\cdot\frac{3x^4-2x^4+2x}{x^4}=\frac{x^4+2x}{4x^4}=\frac{x^3+2}{4x^3}$$
Яъне, \(y'=\frac{x^3+2}{4x^3}\). Барои ёфтани калонтарин ва хурдтарин қиматҳои функсия, мо бояд экстремумҳои ин функсияро ёбем. Барои ёфтани экстремумҳо, мо нуқтаҳои буриши ҳосилаи функсия ва хатти \(Ox\)-ро меёбем.
$$y'=0 \Rightarrow \frac{x^3+2}{4x^3}=0 \Rightarrow x^3+2=0 \Rightarrow x_1 = -\sqrt[3]{2}$$.
Азбаски, ҳангоми \(x \in (-\infty; -\sqrt[3]{2})\) ҳосилаи функсия калон аз сифр, ҳангоми \(x \in (-\sqrt[3]{2};0)\) хурд аз сифр ва ҳангоми \(x \in (0;+\infty)\) калон аз сифр. Пас дар нуқтаи \(x_1 = -\sqrt[3]{2}\) функсия соҳиби қимати калонтарин мешавад.
5. Даври функсия
Функсияи \(y=\frac{x^3-1}{4x^2}\) даврӣ нест.
6. Функсияи зерин ҷуфт ё тоқ?
Барои муайян кардани ҷуфт ё тоқ будани функсия, мо бояд \(f(-x)\)-ро ёбем.
$$f(-x)=\frac{(-x)^3-1}{4(-x)^2}=\frac{-x^3-1}{4x^2}$$
Азбаски \(f(-x) \neq f(x)\) ва \(f(-x) \neq -f(x)\), пас функсия на ҷуфту на тоқ.
7. Фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавии функсия
Барои ёфтани фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавӣ, мо бояд ҳосилаи функсия(ки дар пункти 4 ёфта будем)-ро бо сифр муқоиса кунем. Ҳангоми ҳосилаи функсия аз сифр калон будан, функсия афзуншаванда ва ҳангоми аз сифр хурд будан, функсия камшаванда ҳисобида мешавад. Азбаски, ҳангоми \(x \in (-\infty; -\sqrt[3]{2})\) ҳосилаи функсия калон аз сифр, ҳангоми \(x \in (-\sqrt[3]{2};0)\) хурд аз сифр ва ҳангоми \(x \in (0;+\infty)\) калон аз сифр. Пас функсия дар фосилаҳои \(x \in (-\infty; -\sqrt[3]{2})\) ва \(x \in (0;+\infty)\) афзуншаванда ва дар фосилаи \(x \in (-\sqrt[3]{2};0)\) камшаванда мебошад.
8. Буриш бо \(Ox\) ва \(Oy\)
Буриш бо \(Oy\)-ро меёбем. Барои ин мо бояд \(f(0)\)-ро ҳисоб кунем. Лекин \(x = 0 \notin D(y)\). Яъне, функсия буриш бо хатти \(Oy\) надорад.
Барои ёфтани буриш бо \(Ox\), мо бояд муодилаи $$y=\frac{x^3-1}{4x^2}=0-ро$$ ҳал кунем.
$$\frac{x^3-1}{4x^2}=0 \Rightarrow x^3-1=0 \Rightarrow x^3=1 \Rightarrow x_1=1$$
Яъне, функсия дар нуқтаи \((1; 0)\) хатти \(Ox\)-ро мебурад.
9. Графики функсия